?

Log in

Eli Bar-Yahalom (Khatul)
16 September 2012 @ 06:19 pm

אלי בר-יהלום / סונטה לראש השנה



אל תשאגי עלי, תשע"ג.

...הבקשה הזאת מופרזת:

את לא ישות, אלא מושג,

ואין לך תודעה נפרדת.



אך - במצב שיש - אגש

גם לדבר אל דג מלוח,

לריקבון שבתפוח

ולכפית בתוך הדבש:



אגש - ואבקש, תמים,

טיפה קטנה של רחמים

על גוזלים נופלי-רקיע;



והיושב על הדממה

אולי יכריע: מי ישמע,

מי יגחך - ומי יפתיע.



16.9.2012 ערה"ש תשע"ג
 
 
Eli Bar-Yahalom (Khatul)

זה עניין של הגיון. לוגיקה פשוטה.
קחו מאפיונר. הוא איש רע. פיכסה.
עכשיו תרצחו אותו באכזריות. זה מעשה רע. פויה. (אלא אם כן נעשה מתוך הגנה עצמית, כמובן).
היותו של אדם רע לא מצדיק פשע שנעשה כלפיו.
מאידך, היותו קרבן פשע לא הופך אותו לצדיק.
פשוט לא. כי זה לא קשור.

עכשיו בואו נדבר על המסתננים (שבאופן גורף ומטעה נקראים "פליטים").
ההסתננות עצמה מהווה, עבור מדינת ישראל, בעיה עצומה בכמה מישורים (לא כאן המקום לפרט, כי לא על זה אני מדבר כאן).
אדם נתון, נקרא לו ג'ורג', שהסתנן לכאן (למשל, מאריתריאה או סודן), ביצע, לפיכך, מעשה רע לישראל. לא ניתן אפילו להשוואה לגניבה, רצח, אונס או ריגול, אבל עדיין פיכסה.
ועם זאת - פשע שמבצע מישהו מאיתנו נגד ג'ורג' הוא מעשה נתעב וחמור כאילו בוצע נגד יהודי או ערבי אזרח הארץ, ומנוגד לכל אמות המוסר הקבילות.
ומאידך: היותו של ג'ורג' קרבן לפשע *לא* מזכה את תופעת ההסתננות מלהיות בעיה לישראל.
ומאידך: היותו של ג'ורג' קרבן לפשע *לא* מצדיקה מעשה פשע אחר שנעשה *על-ידי* מסתנן (ג'ורג' או אחר) - או כל פשע שהוא על-ידי כל אדם שהוא.
פשוט לא. כי אלה דברים לא קשורים.

לוגיקה.

*

איך-שהוא הלוגיקה הפשוטה מופרת בשני הכיוונים:
1) אספסוף מתלהם בדרום ת"א שתוקף הערב אריתראי כסיום "מוצלח" להפגנה נגד מסתננים
2) פעילי "זכויות אדם" כביכול שמגינים באופן *אוטומטי* על כל מסתנן *כי הוא מסתנן* ולכן *חלש* (=זקוק להגנה, ניתן להשוואה ליהודי בימי היטלר וכל דבר הזוי אחר).

למותר לציין ששתי ההפרות הנ"ל (מלשון להפר את הלוגיקה) איומות באותה מידה, אבל בטווח-פעולה שונה.
האספסוף מבצע פשע נגד האדם (שבאמת עלול להתפתח לפשע נגד האנושות).
האקטיביזם הפרו-מסתנני מהווה עושק וגזל ביחס לאוכלוסיית המדינה לטווח ארוך, ובנוסף מנציח את הבעיה בכך שמהווה הצדקה-בפועל של כל מעשה שלילי אם נעשה בידי מסתנן (פעילות כזו, לדעתי, במידה רבה מאד אחראית לרמת הפשיעה הגבוהה של אזרחים ממוצא אפריקאי באמריקה - הרי "מותר להם, כי הם חלשים" - לעומת רמת פשיעה נמוכה הרבה יותר של אזרחים מאותו מוצא, למשל, באנגליה/צרפת).

*

הערה לוגית-מתודית: *בדיוק מאותה סיבה* כמו מה שאמרתי ברשומה המקורית, ניתן לומר משהו על דעות בויכוח. משהו רלוונטי.
זה שקיים אדם מתלהם שמביע דעה איקס באופן קולני, בוטה ושגוי, ***אינו*** אומר כשלעצמו שדעה איקס היא שגיאה. ולהיפך.
נכונותה של עובדה לא קשורה באופן שבו מביעים אותה...
...אבל אנשים *מאמינים* שהיא כן קשורה. לכן כדאי, אם אנו רוצים שדעותינו תתקבלנה ברצינות, להביע אותן באופן תרבותי וחכם.

*

בינתיים אני מזדעזע למראה אנשים שאני מעריך ומכבד שמשתפים סטטוסים מתלהמים ומסיתים. כך, למשל, ידידה טובה משתפת סטטוס שמאשים את מפלגת הליכוד (!!!) וראש הממשלה (!!!) בהפגנה בדרום ת"א (ובדרך משווה, כמובן, את המפגינים *ואת ראש הממשלה* לנאצים. האם ניתן לומר עליהם שלא למדו את הלקח ושהכתובת היא על הקיר?)

ביבי "אשם" בבעיית האלימות נגד המסתננים באותה מידה כמו שרבין היה "אשם" בגל הטרור נגד ישראלים בעקבות תהליך אוסלו. לכן השוואת ביבי לנאצים היא בדיוק שקולה כנגד השוואת רבין לנאצים. אם ההשוואה האחת פסולה בעליל, גם השנייה כך. אם הראשונה היא הסתה לרצח, גם השנייה כך.
 
 
Eli Bar-Yahalom (Khatul)
18 May 2012 @ 05:52 pm
 

שלושת ה"מם"

כְּשֶׁיְּצוּר בַּטֶּבַע עוֹזֵב בֵּיתוֹ
וְנִתְקָל בִּיצוּר אַחֵר
הוּא הוֹרֵג אוֹתוֹ אוֹ שׁוֹכֵב אִתּוֹ
אוֹ נִמְלָט מִמֶּנּוּ מַהֵר.

כִּי עַל פְּנֵי הָאָרֶץ יָקוּם הַדִּין
רַק בְּכֹחַ שְׁלֹשֶׁת הַ-"מֵם":
הַשְּׁלֹשָׁה הֵם מָוֶת, מָזוֹן וּמִין -
רְבִיעִי לֹא יִשְׁוֶה לָהֶם.

תַּעֲרֹךְ מֶחְקָר: תְּנַסֶּה "מוּסָר"
אוֹ "מַצְפּוּן", אֲפִלּוּ "מִסְחָר" -
אַךְ בִּקְרַב הָרוּחַ וְהַבָּשָׂר
כְּבָר יָדוּעַ בְּמִי תִבְחַר.

כָּל חָרִיג תִּבְחַן: טַפִּיל, לַהֲקָה,
סִימְבִּיוֹזָה - וְיֵשׁ הֲמוֹן -
תְּגַלֶּה שֶׁהֵם הִתְחַבְּרוּ דַוְקָא
בִּשְׁבִיל מָוֶת, מִין אוֹ מָזוֹן.

זֶה מְקוֹר הַפַּחַד הַמַּהוּתִי
שֶׁל אָדָם עוֹמֵד עַל בַּמָּה:
"יַהַרְגּוּ אוֹתִי? יִשְׁכְּבוּ אִתִּי?
יִמָּלְטוּ מִמֶּנִּי - אוֹ מָה?"

וְהַ"מָה?" הַזֶּה, כָּל עוֹד לֹא וַדַּאי
מִי מִשְּׁלֹשֶׁת הַ-"מֵם" שַׁלִּיט,
מְיַצֵּר תְּחוּשָׁה שֶׁכָּל זֶה כְּדַאי
וְשֶׁיֵּשׁ לַחַיִּים תַּכְלִית.

16 מאי 2012 – מ' לעומר תשע"ב

לא בא

לֹא בָּא לִי עוֹלָם בּוֹ מְכַשְּׁפוֹת הֵן סְתָם אַגָּדָה נִבְזִית.
לֹא בָּא לִי עוֹלָם עִם רַק שְׁתֵּי שָׂפוֹת: עִבְרִית ן... זֹאת, לוֹעֲזִית.
לֹא בָּא לִי עוֹלָם שֶׁבּוֹ הַבְּחִירָה: אוֹ שֵׁיקְסְפִּיר - אוֹ תְּהִלִּים,
שֶׁיֵשׁ בּוֹ אֱמֶת שֶׁלֹּא נֶאֶמְרָה כִּי אֵין בִּשְׁבִילָהּ מִלִּים.

נִסִּיתִי לִבְרֹא עוֹלָם טוֹב יוֹתֵר: זָחַלְתִּי לְחוֹר שָׁחוֹר
וְעֶרֶב וּבֹקֶר בְּלִי לְוַתֵּר צָרַחְתִּי בּוֹ: "יְהִי אוֹר",
אֲבָל לֹא נוֹצַר לֹא זִיק וְלֹא גֵץ, לֹא קֶרֶן וְלֹא פוֹטוֹן:
אִם אֵיזֶה מַפָּץ גָּדוֹל הִתְפּוֹצֵץ, זֶה לֹא הָיָה בָּעִתּוֹן.

נִסִּיתִי בְּיַחַד עִם חֲבֵרִים - אַךְ הֵם נַעֲשׂוּ זָרִים
וּמַה שֶּׁהִתְחִיל מַסַּע-גִּבּוֹרִים נִגְמַר בִּסְתָם דִּבּוּרִים.
נִסִּיתִי לָקוּם וּלְהִתְפַּלֵּל: עַרְבִית, שַׁחֲרִית, מִנְחָה.
"כָּל מַה שֶּׁהָיָה לִי", עָנָה הָאֵל, "מִזְּמָן נָתַתִּי לְךָ".

לִחְיוֹת מְאֻכְזָב בְּעוֹלָם מַבְעִית? לִשְׁקֹעַ בַּהֲזָיוֹת?
לִשְׁכַּב כִּתְמָנוּן עַל הַקַּרְקָעִית? פָּשׁוּט לְהַפְסִיק לִהְיוֹת?
רוֹצֶה הָעוֹלָם שֶׁאֲנִי אֶבְחַר. וּבְכָל זֹאת, בִּמְקוֹם לִבְחוֹר,
עֲדַיִן אֲנִי בְּגָרוֹן נִחָר מַמְשִׁיךְ לִלְחוֹשׁ: "יְהִי אוֹר".
 

כ"ו אייר תשע"ב – 18 מאי 2012

 
 
Eli Bar-Yahalom (Khatul)
10 May 2012 @ 11:48 am

דרושים

מַחֲזֶה בְּלִי שֵׁם מְחַפֵּשׂ בַּמַּאי
שֶׁיָּעִיף בּוֹ מַבָּט חָטוּף:
עִם אֶחָד בְּאַפְּרִיל וְאֶחָד בְּמַאי,
בְּרִית בֵּין בֵּית-קִלֵּל לְבֵין בֵּית-רַמַּאי,
מְחָאוֹת וְרֵיחַ-הַרְדּוּף.

מַחֲזֶה סְתוּם-לֵב מְבַקֵּשׁ צִנְתּוּר,
שֶׁיִּזְרֹם לְפָחוֹת טִפְטוּף:
עִם דְּקִירוֹת-סַכִּין וּפְלִיטוֹת-כַּדּוּר,
הִשָּׂרְדוּת כְּשֵׁם שֶׁל מוֹפַע-בִּדּוּר,
פִּגּוּעִים וְרֵיחַ-הַרְדּוּף.

מַחֲזֶה צוֹרֵחַ מַזְמִין קָהָל
לְשַׁמֵּשׁ לוֹ כְּשַׂק-אִגְרוּף:
עִם הַרְבֵּה גוֹרָל וּמְעָט מַזָּל,
עַל כָּל יוֹם שֶׁל דְּבָשׁ עֲשָׂרָה בָּצָל,
אַכְזָבוֹת וְרֵיחַ-הַרְדּוּף.

מַחֲזֶה בְּלִי סוֹף זָקוּק לְסִיּוּם
כְּמוֹ שֶׁנֶּפֶש זְקוּקָה לְגוּף:
שֶׁיֵּרֵד מָסָךְ, הַקָּהָל יָקוּם
וְיֵצֵא הַחוּצָה – וְשָׁם אֵין כְּלוּם
חוּץ מֵרֵיחַ
קַל שֶׁל הַרְדּוּף,
חוּץ מֵרֵיחַ
קַל שֶׁל הַרְדּוּף.

ל"ג בעומר תשע"ב – 10 במאי 2012

 
 
Eli Bar-Yahalom (Khatul)
01 December 2011 @ 02:18 pm

שם הקורס: לוגיקה מתמטית (אקדמי)

הערה: להבדיל מקורסים רבים אחרים שנבנו על-ידי מראשיתם ועד סופם, קורס זה הוא קורס אקדמי הניתן במשך דורות רבים ועיקריו נקבעו במסורת האקדמית מקדמת דנא. מן הסתם, כאשר אני מלמד אותו, אני מוסיף לו נופך משלי.

שיעורים 1-6

שיעור 1: פעולות אונריות, בינריות, N-ריות. כמה פעולות N-ריות קיימות? זיהוי הפעולות. פעולות N-ריות אמיתיות ולא-אמיתיות, ספירתן בעזרת עקרון ההכלה וההפרדה.

שיעור 2: טאוטולוגיות וסתירות. משפטים בתוך תחשיב הפסוקים (כגון "A או לא A") ומשפטים *על* תחשיב הפסוקים (כגון "אם x טאוטולוגיה אז ~x סתירה"), ודרכי הוכחתם. דוגמה להוכחה ע"י טבלת אמת: "אם לא תפסיק לחייך, אז אם לא יהיה שוטר בסביבה, תקבל מכות" שקול ל"אם לא יהיה שוטר בסביבה, אז אם לא תפסיק לחייך, תקבל מכות".
הגדרה פורמלית-אינדוקטיבית (לפי שיטת פאנ'יני पाणिनि מהמאה ה-4 לפנה"ס) של קבוצה - דוגמה: מגדירים את קב' המספרים הטבעיים בתור (א) קבוצה המכילה את 1, (ב) קבוצה שמכילה כל איבר שלה ועוד 1, (ג) זו הקבוצה המינימלית המקיימת (א)+(ב) (כלומר, חיתוך כל הקבוצות המקיימות שני תנאים אלה).
הגדרה פורמלית-אינדוקטיבית של השפה הפורמלית: קבוצת הפסוקים היא קבוצה אשר: (א) מכילה כל אות; (ב1) מכילה שלילה של כל איבר שלה; (ב2) מכילה גרירה בין כל שני איברים שלה; (ג) היא הקבוצה המינימלית המקיימת א,ב1,ב2. נשים לב שהפעולות "גרירה"+"שלילה" הם מערכת קשרים שלמה.
בשבועות הקרובים: גרירה טאוטולוגית. תזכורת על אינדוקציה מתמטית. משפטים כמותיים על פסוקים פורמליים והוכחתם באינדוקציה. אלגוריתם פיינמן ובדיקת נכונות של פסוק פורמלי; חישוב פורמלי של הצבה בפסוק פורמלי.

שיעור 3: ניתוח השפה הפורמלית: אלגוריתם פיינמן. בדיקת נכונות (וחישוב ערך) של פסוק פורמלי. צורה מקוצרת - "פסוק חצי-פורמלי".
טענות כמותיות על השפה הפורמלית והוכחתן באינדוקציה. דוגמאות:
(1) left=right
(2) left= 2*if+neg
(3) atom=if+1
(4) כמות התוים בפסוק היא תמיד כפולה של 3 ועוד 1.
[שעורי בית: כתוב תכנית הבודקת אם קלט מהווה פסוק פורמלי תקין.]

שיעור 4: אינטרפרטציות והצבות. אינטרפרטציה היא ייחוס ערכי אמת/שקר למשתנים; אינטרפרטציה של פסוק היא תהליך רקורסיבי על עץ הפענוח של הפסוק (לפי הגדרת הפעולות). אינטרפרטציה מלאה, מספקת, לא מספקת. דוגמה.
הצבה היא החלפה של אות מהפסוק בטקסט של פסוק אחר. הקשר בין הצבה ואינטרפרטציה. משפטים: הצבה בטאוטולוגיה היא טאוטולוגיה, הצבה בסתירה - סתירה. הוכחה.

שיעור 5: בין תחביר לסמנטיקה.
גרירה טאוטולוגית ושקילות טאוטולוגית. המשפט "A->B טאוטולוגיה אם ורק אם A גורר טאוטולוגית את B" המקשר בין תחביר לסמנטיקה (אנלוגיה לפעולות החיבור והכפל המתאימות ל"או" ו"וגם" בקומבינטוריקה) והוכחת משפט זה. כללי הלוגיקה (דה מורגן, פילוג...) כגרירות טאוטולוגיות.
מבוא למערכות היסק: מושג כלל ההיסק, דוגמאות (בפרט כלל Modus Ponens). שימוש בכללי היסק. כלל היסק נאות (כלל שבו הרישא גוררת טאוטולוגית את הסיפא).

שיעור 6: הגדרת מערכת היסק והוכחה פורמלית. יכיחות. מערכת אופסילון-1 של לוקסייביץ'. משפט הדדוקציה והאנלוגיה בינו לבין משפט הגרירה הטאוטולוגית. מבנה הוכחה פורמלית עם דדוקציה. דוגמה להוכחה פורמלית ("אם לא א', אז א' גורר ב'"). צורת חשיבה מומלצת למציאת הוכחות פורמליות.
 
 
 
Eli Bar-Yahalom (Khatul)

שם הקורס: מתמטיקה דיסקרטית 1 (אקדמי)

הערה: להבדיל מקורסים רבים אחרים שנבנו על-ידי מראשיתם ועד סופם, קורס זה הוא קורס אקדמי הניתן במשך דורות רבים ועיקריו נקבעו במסורת האקדמית מקדמת דנא. מן הסתם, כאשר אני מלמד אותו, אני מוסיף לו נופך משלי.

הרצאות 1-6

הרצאה 1: מבוא; במה עוסקת מתמטיקה דיסקרטית. מבוא לתורת הקבוצות: קבוצה, איבר, שייכות; הוכחה לפי ההגדרה; תת-קבוצה, מוכל מול שייך, פרדוקס הסַפָּר; קבוצה ריקה; שוויון קבוצות; הגדרת הפעולות איחוד, חיתוך, הפרש, משלים סימטרי.

הרצאה 2: תורת הקבוצות: דיאגרמות וֶן ככלי-עזר. הוכחות מתקדמות בתורת הקבוצות. מושג המַשְלים (והבעייתיות שלו - הוא אפשרי רק כאשר מוגדר "יקום" שכל האיברים לקוחים מתוכו). ביסוס מתמטי של טיעונים לוגיים על-פי הגדרה באמצעות טבלאות אמת. כללי דה-מורגן לקבוצות והוכחתם באמצעות כללי דה-מורגן לביטויים לוגיים. קבוצת החזקה. מניית אברי קבוצת החזקה בעזרת תרשים זרימה.

הרצאה 3: "כיצד סופרים". עקרונות המנייה הבסיסיים (חיבור, כפל, משלים). דוגמאות ספציפיות (למשל "כמה מספרים דו- או תלת-ספרתיים ישנם כך שלא כל ספרותיהם זהות?" - שיטות שונות המובילות לאותה התשובה 972). אקסיומת האינדוקציה והוכחות באינדוקציה; הוכחה באינדוקציה של עקרון הכפל תוך שימוש בעקרון החיבור.

הרצאה 4: שיטות בסיסיות בקומבינטוריקה. על הסכנה שבשינון נוסחאות ועל היתרון שבלימוד שיטות. סידור N עצמים שונים. סידור N עצמים מתוכם K שונים. בחירת K מתוך N עם סידור. בחירת K מתוך N בלי סידור. מקדמי פסקל (המופיעים קודם לכן בספר "מעשה חושב" של הרלב"ג משנת 1321). בחירת 4 עצמים מתוך 10 כאשר 3 זהים. שתי שיטות-יסוד להוכחת טענות: אלגברית (השוואת נוסחאות) וקומבינטורית (בעזרת הפיכת האגפים לסיפורי-ספירה להראות ששני האגפים סופרים אותו גודל). דוגמה פשוטה: N מעל K שווה N מעל N-K. משולש פסקל והנוסחה הבונה אותו (אתגר הביתה: להוכיח נוסחה זו אלגברית וקומבינטורית).

הרצאה 5: הבינום וחבריו. הנחייה מתודית כללית לגבי הוכחה אלגברית ("התחל מהאגף המסובך ופשט") והוכחה קומבינטורית ("התחל מהאגף הפשוט ופרק"); הדגמת עקרון זה.
חישוב צירופים וחליפות כאשר העצמים באים מ-2 סוגים שונים. דוגמאות.
שימוש באותו עיקרון ליצירה והוכחה של הנוסחה דמויית הבינום:
C(n,k) = ∑i=0..m {C(m,i) C(n-m,k-i)}

בניית הבינום של פסקל (המכונה בטעות "הבינום של ניוטון"). שימוש במקרים פרטיים של נוסחה זו.

הרצאה 6: בינום ומולטינום.
תזכורת: כיצד קיבלנו את הבינום? הפילוסופיה מאחורי ההוכחה הקומבינטורית (אם א' ו-ב' הם שתי שיטות שונות לספור אותו דבר, הרי ש-א'=ב'; לכן אם יש זהות להוכיח, מנסים לספר סיפור שעל-פיו שני האגפים הם שתי שיטות שונות לספור אותו דבר); דוגמאות. ההוכחה ה"אלגברית-חדו"אית": כל זהות ניתן לגזור, לכן גזירת הבינום יוצרת נוסחאות אמיתיות. דוגמה - הוכחה חדו"אית והוכחה קומבינטורית (מפקד וחיילים) לנוסחה:
n*2^(n-1)= ∑k=0..nC(n,k)*k

איתור מקדם של איבר בבינום לפי החזקה (בפרט איבר חופשי). איך לדעת שלא קיים איבר כזה (כאשר k יוצא לא שלם או מחוץ לתחום מ-0 עד n). דוגמאות.
מולטינום: פיתוח (a+b+c)^n. הכללה ל-m מחוברים.
 
 
Eli Bar-Yahalom (Khatul)
30 November 2011 @ 01:37 pm

שם הקורס: חשיבה מתמטית יצירתית (אקדמי)

תמצית הקורס: הקורס מיועד לסייע לסטודנט לעבור מדפוס-חשיבה המוקנה ע"י מערכת החינוך לשיטת-חשיבה אקדמית; להסתגל ללימודים במוסד אקדמי ולרכוש מיומנויות שתשרתנה אותו בעת לימודיו לתואר ראשון וגם בקריירה המקצועית; לפתח גישה יצירתית-מתמטית לבעיות מדעיות. הסטודנטים ילמדו בניית מודלים מתמטיים והשלכה מתחום לתחום (אנלוגיה), יתרגלו בניית אלגוריתמי-פתרון, יסגלו ראייה רחבה של הֶקְשֵׁר הבעיות, יתנסו בשאלות מתחומים מתמטיים שונים וירכיבו "ארגז כלים" אישי אוניברסלי על סמך נסיונם ונטיותיהם המתמטיות. במסגרת הקורס אנו מסתכלים על בעיות מוכרות מלימודי המתמטיקה בביה"ס מנקודת מבט חדשה ומשתמשים בהן כב"קרש קפיצה" לבעיות הנלמדות בקורסים המקבילים במכללה (חדו"א, אלגברה, מבוא למחשב ופיסיקה).

מטרות הקורס:
1) פיתוח מיומנות הגישה לבעייה, משלב הבנת הנקרא ועד לניסוח הפתרון.
2) הקניית יכולת ראייה רחבה של בעייה בתוך הֶקְשֵׁר כללי.
3) גילוי מוקדם של תסמונת ה"אי-הבנה במסווה של הבנה" בנושאים שנלמדו בביה"ס.
4) קישור בין נושאים הנלמדים בקורסים המקבילים במכללה; התמודדות עם מידוּר קוגניטיבי.
5) עיצוב "ארגז כלים" מתמטי להתמודדות עם בעיות.
6) תרגול בפתרון בעיות אתגריות.
7) למידת נושאים מתמטיים תוך דגש על חשיבה מדעית-יצירתית.
8) הרחבת אופקים במתמטיקה ותולדותיה.

הרצאות 1-6:

הרצאה 1: מהי מתמטיקה? האם המתמטיקה עוסקת במספרים? בעיית האביר/נוכל בצומת (לשאול שאלת "כן/לא" אחת כדי לדעת מה הדרך הנכונה; האביר תמיד דובר אמת, הנוכל תמיד משקר) כהדגמה שהמתמטיקה לאו דווקא עוסקת במספרים. המהנדס כמתמטיקאי: אלגוריתם לפתרון בעיה הנדסית. אוקלידס: "אין דרך למלכים במתמטיקה". מקור השם "מתמטיקה". המוסיאון באלכסנדריה. בעייה מצרית עתיקה: "100 דבן חיטה". סימני משתנים - מורשת דיופנטוס. חידת הקבר של דיופנטוס.

הרצאה 2: מדיופנטוס לאל-ח'ואריזמי. דיופנטוס רואה רציונליות בתוך הגיאומטריה. מציאת פתרון רציונלי ל- x^2+y^2=r^2 ע"י ההצבה y=tx-r. מכאן מסיקים את הנוסחה לשלשות פיתגוריות שלמות! ספרו של דיופנטוס על המדף של פייר פרמה - ההשערה x^n+y^n != z^n ותולדות הוכחתה. חזרה לפיתגורס: הוכחת משפט פיתגורס על גבול האלגברה והגיאומטריה; ההוכחות היפות ביותר מופיעות על הגבול בין תחומים. בית-הספר של פיתגורס, הדת שהקים וגלגוליה. האקדמיה של אפלטון. ממשוואה ריבועית עם שני נעלמים נעבור למשוואה ריבועית רגילה עם נעלם אחד ונפתח את הנוסחה הידועה ע"י שימוש (שלישי להיום!) בזהות (a+b)^2 ובשיטת ההשלמה לריבוע, שהיא "אל-ג'בר" של מחמד אל-ח'ואריזמי, שעל שמו נקראים האלגוריתמים.

הרצאה 3: מאל-ח'ואריזמי לפיבונאצ'י: מיומנות הספירה בשיטת ערך-מקום; השיטה הבבלית שאבדה והשיטה ההודית שעבדה (אצל הערבים). לאונרדו פיבונאצ'י וספרו "ליבר אבאקי" כמשל לשיטה חדשה וקלה שקשה מאד להטמיע אותה (והלקח לגבי דברים חדשים שאנו לומדים בקושי, אף שהם עצמם בכלל אינם קשים!). האינדוקציה ככלי הגיוני ("אם השמש זרחה אתמול, היא תזרח גם מחר" מול "אם לא הבנתי עד עכשיו איך לפתור בעיות כאלה, לא אדע אף פעם").
פיתוח נוסחה לסכום סדרה הנדסית. בעיות משולבות: (א) כמה זה "555555" הכתוב בבסיס 9? (סכום סדרה הנדסית). (ב) באיזה בסיס "135" זה 345? (משוואה ריבועית). איקס בריבוע פחות "13" איקס ועוד ????(טקסט משובש) שווה 0 היא משוואה ריבועית ששורשיה 3,8. באיזה בסיס המשוואה ומה הטקסט המשובש? (ויאטה). (ג) הוכח ש-289 בחזקת 2011 פחות 1 מתחלק ב-8 (סדרה הנדסית).

הרצאה 4: "מאין לנו אינדוקציה?". אינדוקציה סמויה במתמטיקה העתיקה. ה"הדרגה" של הרלב"ג (בשנת 1321). הצורך באקסיומטיקה במאה ה-19 (ג'ורג' בול, דה-מורגן, דודג'סון הוא לואיס קרול). בדיקת אוקלידס, הגיאומטריה של רימן (שבה רוב האקסיומות שונות), הגיאומטריה של לובצ'בסקי המוכיחה שהאקסיומה החמישית היא אכן אקסיומה; רדיפת לובצ'בסקי ברוסיה; פנייתו ל-גאוס והטרגדיה של בוייאי. "נקמתו המתוקה של הטבע" - בחלל מתקיימים... חוקי לובצ'בסקי. ג'וזפה פיאנו מנסח את אקסיומות הטבעיים, בהן האינדוקציה.
אקסיומת האינדוקציה. הוכחות באינדוקציה (דוגמאות: טורים, סכום ריבועים, אי-שויון ברנולי). הוכחה של אקסיומת האינדוקציה (יהי המספר המינימלי שלא מקיים את התכונה...) - איך זה ייתכן? מציאת האקסיומה בה משתמשים באופן סמוי ב"הוכחה" זו.
תוספת - שארית ממשפט פיתגורס: פיתוח משפט הקוסינוסים.

הרצאה 5: אינטואיציה וסדר - שני הכוחות המובילים לפתרון בעיות מתמטיות.
נוסחאות שונות בלוגריתמים והוכחתן. שימוש בהן כדי להוכיח את המשפט

[loga1a2][loga2a3][loga3a4]...[logana1]=1

שיטת הטלסקופ כאינדוקציה סמויה. הוכחת הנוסחה לאיבר כללי בסדרה הנדסית בשיטת הטלסקופ. בניית טלסקופים אלטרנטיביים, כמו זה המסתמך על
[loga1a2][loga2a3]=loga1a3 (והוכחת נוסחה זו). ההבדל בין רישום פורמלי וחצי-פורמלי.
טכניקת בניית הוכחות מהסוף להתחלה (ומדוע בכל זאת אסור להתחיל ממה שנדרש להוכיח).
חייו של ראמאנוג'אן ועבודתו עם הארדי. בכל אחד יש "ראמאנוג'אן פנימי" בעל אינטואיציה ו"הארדי פנימי" היודע איך נראית הוכחה. שיתוף פעולה פנימי המאפשר יצירת פתרונות נכונים.

הרצאה 6: "דברים אין-סופיים והיכן למצוא אותם". סקר שערכו תלמידי הקורס "אין-סוף" גילה שאנשים אינם יודעים מהו אין-סוף. מדוע אין-סוף אינו מספר? מדוע לא ניתן לבצע פעולות חשבוניות עם אין-סוף? הגדרה: התאמה חד-חד-ערכית בין 2 קבוצות (קבוצת זוגות כך שהאיבר הראשון בכל זוג בא מהקבוצה הראשונה, האיבר השני בכל זוג מהקבוצה השנייה, כל אברי שתי הקבוצות מופיעים בזוגות, ובנוסף בכל 2 זוגות נתונים האיברים הראשונים שונים והאיברים השניים שונים). קבוצה נקראת אין-סופית אם ניתן להתאים את איבריה חד-ערכית לאברי תת-קבוצה-ממש שלה.
דוגמה: קב' הטבעיים מתאימה חד-חד-ערכית לקב' הזוגיים, שהיא תת-קבוצה-ממש שלה.
"שאיפה למספר" ו"שאיפה לאין-סוף" מוגדרות בחדו"א באופן שונה - לכן לא תמיד ניתן לבצע אנלוגיה (בעייה זו בסימונים ידועה כ"אונס-סימונים" – "abuse of notation").
האם כל הקבוצות האין-סופיות מתאימות חד-חד-ערכית זו לזו? (כלומר, האם כולן באותו גודל?) עוצמת קב' הרציונליים שווה לעוצמת הטבעיים (הוכחה); אך עוצמת הקטע (0,1] גדולה ממנה, כפי שהוכיח קנטור (ההוכחה עצמה - בהרצאה הבאה). חיי קנטור.
בעיות נוספות: חלוקת שלל בין שודדי-ים - דוגמה לחשיבה באינדוקציה; מציאת מטבע מזוייף מתוך 12 בשלוש שקילות והאם הוא כבד או קל - כדוגמה לחשיבה שיטתית - ואזכור לתורת האינפורמציה (27 תוצאות אפשריות - וצריך 24).
 
 
Eli Bar-Yahalom (Khatul)
30 November 2011 @ 12:28 pm

שם הקורס: אגדה ומיתולוגיה (כיתות ז'-ח' מחוננים)

תקציר הקורס: תודעתו של אדם מעוצבת במידה רבה ע"י האגדות שהוא שומע וקורא. תודעתה הקיבוצית של תרבות מעוצבת ע"י המיתוסים עליהם גדלים האנשים המרכיבים אותה. בקורס נבחן את העקרונות המשותפים למערכות מיתולוגיות שונות, את הגבולות בין מיתוס לאגדה ובין שניהם למציאות הסטורית; נבדיל בין אגדה כיצירה ספרותית לאגדה ככלי לימודי-חינוכי; וניהנה משפע של מיתולוגיות ואגדות מכל רחבי תבל.

הרצאות 1-6

הרצאה 1: הגדרות שונות למיתולוגיה. האם מיתולוגיה חייבת להיות על דמויות על-טבעיות? האם היא חייבת להיות דמיונית? האם תיתכן מיתולוגיה מדעית? הדמוקרטיה הישראלית כמיתוס; הדרדסים והמומינים כמיתוס. מיתוס ואמת (בר-כוכבא; אליסון דיבואה). איך נוצר מיתוס? (התיאוריה ההסברית; התיאוריה האווהמרית, תור היירדאל).
הגדרה שלי: "מיתולוגיה היא אוסף מושגים ודמויות שניתן לשחק בהם כדי ליצור סיפורים בעלי משמעות" (מוצא חן בעיני יותר מההגדרה שנתתי לפני שנתיים: "מיתוס הוא אמת בעטיפה קליטה").
הגדרה מצחיקה (ושגויה) של פרופ' וונדי דוניגר או'פלהרטי: "אם ביוגרפיה זה איך שכל מיני חבר'ה וכאלה, אז מיתולוגיה זה איך שכל מיני אלים וכאלה".

הרצאה 2: מילון המושגים של מיתולוגיה - על-פי דוגמת המיתולוגיה היוונית. הנחות-יסוד סמויות: "אל" (ת'אוס) הוא מושג פוליטי (זאוס, אפרודיטי וגלאוקוס הם אלים, פרומתיאוס לא) אבל "גיבור" (הֶרוס) הוא מושג גנטי (לא חשוב מה עשית, חשוב הדם האלוהי). סוגי יצורים, מקומות, מספרים (3,7,12). אטריבוטים.
[שעורי בית: לשחזר תמונת-עולם של מיתולוגיה לפי מושגי-היסוד שלה.]

הרצאה 3: "מיתולוגיה מודרנית". השבוע לפני 94 שנה - המהפכה הקומוניסטית ברוסיה, הקמת ברית-המועצות. צפייה בסרט: הפגנה בכיכר האדומה, 1 במאי 1981. לנין כאדם מושלם בן-אלמוות, ברז'נייב כיורשו עלי אדמות, מרקס ואנגלס כ"אלים בְּכוֹרים מתים", המועצה המרכזית של המפלגה כאולימפוס. תמונת עולם מיתולוגית; סוגי יצורים: פועלים, משכילים, בטלנים, נצלנים, כובשים. הכאוס הקפיטליסטי, העתיד המושלם הקומוניסטי. חינוך מיתולוגי בבתי-הספר בבריה"מ, מורשת לנין.
השוואה למיתולוגיה של גרמניה הנאצית, הזמנה להסקת מסקנות על מיתולוגיזציה של חברות מודרניות (לרבות שלנו).
מתוך המסקנות: "גיבורי המיתולוגיה לא חייבים להיות יצורים אגדיים"; "מיתולוגיות נוצרות כל הזמן"; "אנחנו עשויים לחיות בתוך תפישת-עולם מיתולוגית ולא להיות מודעים לכך". הערה: כשם שרבים ממתנגדי-המשטר בבריה"מ לא הטילו כל ספק בקדושת לנין, כך התפישה המיתולוגית שלנו, שאנו לא מודעים לה, עשוייה להיות לא בדבר-מה שאנו מטילים בו ספק, אלא דווקא בדבר-מה שאנו בטוחים בו.

הרצאה 4: אטיולוגיה (="למה זה ככה?") ככוח מניע במיתולוגיה - מקוריה של ארכנה (המסבירים את קיום העכבישים) עד פטישו של ת'ור (המסביר את הברק והרעם). הסיפור המצרי על המאבק בין סת' לחור ("הורוס") כמיתוס רב-אטיולוגי המסביר תופעות גלובליות כמו המוות יחד עם תופעות חברתיות כמו מבנה בית-משפט וסטנדרטים התנהגותיים (כיצד כותבים מכתב רשמי לאדם רם-מעלה). המיתולוגיה הרומית הקדומה כדוגמה למיתולוגיה ...שעיקרה - אטיולוגיה של הסטוריה מקומית; כאשר היא הפכה להיות "קטנה" על הרומאים, לא היה מנוס מהרחבתה - ע"י שאילה תחילה מהאטרוסקים, אחר-כך מהיוונים ולבסוף המצאה מכוונת ע"י משוררים (ה"אנאידה" של ורגיליוס).
אסכטולוגיה (="איך הכל ייגמר?") כמוטיב מרכזי במיתולוגיות - לרבות מיתולוגיות מודרניות (התחממות גלובלית). היעלמות השמש כמוטיב אוניברסלי.
"ונסיים בשירת ההמנון" - השיר "דמדומי האלים" מאת דנה כץ-בוכשטב.

הרצאה 5: איך נולדים אלים?
שאלות שמניעות יצירת מיתולוגיה: מיתוסים שלא מתארים את בריאת העולם (יפן, אוסטרליה) כי לא נשאלו שאלות כאלה.
אל כהתגשמות עיקרון (שמש, צדק, דגן...) - או כהאלהה של תופעה חברתית; עיר שהופכת אל - מאשור ועד ניו-יורק. צורת האל נקבעת ע"י הפונקציה שלו - או ע"י פירוש של שמו (כאשר "דגן" הכנעני הפך ל"דגון", שמו התפרש מהמילה "דג" והחלו לפסלו בדמות איש-דג).
פוליתאיזם, הנותאיזם, מונותאיזם: גלגל חוזר, כולל התפתחות הפוליתאיזם מתוך המונותאיזם על בסיס העדפת מתווכים בין האדם לאלוהות (באמונה המונגולית, הנוצרית והפולחן העממי היהודי – קברות צדיקים).
מיתולוגיה משפחתית כהמחשה ברורה ומהירה של היווצרות אלמנטים מיתולוגיים.
[שעורי בית: מיתולוגיה משפחתית; להכין ולהציג הרצאות על מיתולוגיות שונות].

הרצאה 6: הרצאתו של איתי על המיתולוגיה הסלאבית – למעשה, על "מחזור קייב" של אגדות הנסיך ולאדימיר + ה"מיתולוגיה התחתונה" של הסלאבים המזרחיים. מציאת מוטיבים חוזרים וארכיטיפים; השוואה למיתולוגיות אחרות. כיצד שורדת מיתולוגיה תחת שלטונה של דת ממלכתית (נצרות/אסלאם): דרך אמנות ו/או אגדות ילדים. תחיית המיתולוגיה הקדם-נוצרית בימי הרנסאנס (ברוסיה – במאה ה-19).
 
 
Eli Bar-Yahalom (Khatul)

שם הקורס: המסע אל האין-סוף (כיתות ה'-ו' מחוננים)

תקציר הקורס: אנו חיים בעולם סופי המוקף באין-סוף. אנו רואים אותו במתמטיקה, בעיתונות הפופולרית, באומנות, בדת, בפילוסופיה - אפשר ממש לומר, שאנו רואים אותו באין-סוף הזדמנויות. אבל מהו האין-סוף? האם ניתן להתייחס אליו כאל מושג ממשי? האם יש לו שימוש? (ואולי, אין-סוף שימושים?) האם ניתן להתיידד איתו?

מטרות הקורס: להכיר את המושג המתמטי והפילוסופי "אין-סוף" על כל השלכותיו; להבדיל בין סוגי אין-סוף שונים, שימושיהם והיחסים ביניהם; להפוך את האין-סוף מביטוי חסר-משמעות למושא לחקר מדעי.


הרצאות 1-6

הרצאה 1: מספרים גדולים מול אין-סוף; אין-סוף פוטנציאלי. ארכימדס ובניית מספרים גדולים כרצוננו על-פי ה"פסאמיטס". קנה מידה של מספרים גדולים: סיביות בזכרון מחשב בכמויות ענק על שולחננו - מול מיליוני שנים שייקח לספור כמות דומה.

הרצאה 2: הוכחה בדרך השלילה. הגדרת מספר טבעי. הוכחה שאין סוף לטבעיים. כננ"ל לזוגיים. מה עם ראשוניים? הגדרת ראשוני. משפט: לכל טבעי גדול מ-1 יש מחלק ראשוני. הוכחה. מסקנה: אין סוף לראשוניים. הוכחת אוקלידס למשפט זה.

הרצאה 3: "האין-סוף יכול להיות גם קטן". צלילה לעולם הנאנו באמצעות מיקרוסקופ אלקטרוני רב-עוצמה (הדגמה באמצעות סרטונים). האטום בהגדלה פי 10 מיליון - ואותו אטום כאצטדיון כדורגל (הגרעין הוא כדור קטן באמצע). כל זה רחוק מלהיות אין-סוף! אין-סוף קטן - דיוק בחישוב אחרי הנקודה. המספר "פיי" (π) כדוגמה: לייצוג π אין-סוף ספרות בכל בסיס (לא משנה כמה אצבעות יש לנו). חישוב המספר π בדיוק הולך וגדל כממוצע היקפי מצולעים (חוסם וחסום) סביב מעגל בקוטר 1 (הדגמה עבור מרובעים ומשושים). π של ויליאם שנקס; π בלתי מוגבל (לא אין-סופי!) כיום.

הרצאה 4: פגישה ראשונה עם אין-סוף. חישוב π מההרצאה הקודמת ניתן לבצע כסכום סדרה אין-סופית. מהי סדרה אינסופית? נזיר מדביק ביום ה-N אחד חלקי 2 בחזקת N של תפוח. כמה יהיו לו אחרי N ימים? לְמה יהיה דומה הסכום ככל שעובר יותר זמן? הגדרת גבול, סימון "סיגמא" לסכום. סכום הסדרה שואף ל-1. זיהוי פלילי: כל תמונה מזהים פי 2 מהר מהקודמת - לכן בשעתיים ניתן לסיים אלבום אין-סופי! הפרדוקסים (ἀπορɛία) של זֶנון: "איש הולך לא יגיע ליעדו" ו"אכילס והצב". מתי במציאות ייפגשו אכילס והצב? (10/9 המרחק ההתחלתי). פתרון הפרדוקס של אכילס והצב (אכילס והצב אינם עוצרים, אך "הקלטת הווידאו" של המירוץ שבה צופה זנון עוצרת ברגע שהם נפגשים). פרדוקס רוס-ליטלווד: כל פעם קרוב יותר ויותר לחצות מוסיפים הרבה כדורים לקופסה ומורידים אחד; אם הכדורים אינם ממוספרים ברור שיהיו אין-סוף כדורים בחצות - אך אם ממספרים אותם ברור שאף כדור לא יישאר שם!
[שעורי בית: להתאים את ההסבר לפרדוקס אכילס והצב לפרדוקס האיש ההולך; לנסות להבין את פרדוקס רוס-ליטלווד.]

הרצאה 5: הדגמת השאיפה לאין-סוף (מההרצאה הקודמת) ע"י עקרון פיתגורס האומר: "קיצור מיתר פי 2 מעלה את הצליל אוקטבה אחת למעלה". ניסוי במיתר אמיתי - המחשה. פיתגורס וגישתו הפילוסופית-דתית למספר; בית-הספר שלו שבו המוסיקה היתה ענף של המתמטיקה, והמספרים היו ביטוי להרמוניה האלוהית.
המספר המושלם - אחד מביטויי השלמות על-פי פיתגורס. מספרים "שמנים" ו"רזים" שאינם מושלמים. המספרים 6,28,496,8128 שהיו ידועים כמושלמים ביוון העתיקה. נוסחת אוקלידס למושלמים זוגיים (שרק אוילר הוכיח שאין מספרים מושלמים זוגיים שאינם תואמים נוסחה זו). בנייה של תוכנית מחשב (והרצתה בזמן ההרצאה) שמתבססת על נוסחת אוקלידס ותכליתה למצוא את המספר המושלם החמישי.
המספרים המושלמים שמצאו עד היום המתמטיקאים (רק 47 במספר, בגדול מעל 25 מיליון ספרות). החידות שאין להן עדיין פתרון: האם מספרם סופי או אין-סופי? האם יש לפחות אי-זוגי אחד ביניהם?
חשיבותם של המספרים המושלמים - לא כי הם שימושיים, אלא כי יש בהם יופי.

הרצאה 6: "מה אנו יודעים על האין-סוף?" הכנת הצעות להסבר מלומד עבור ילד (שפירושו של דבר, אדם חכם שאינו מתבייש להודות באי-ידיעתו) בנושא "מהו אין-סוף". סקר בין התלמידים (המחוננים!) בקורסים השונים בנושא "מהו אין-סוף?".
התשובות שהתקבלו הן: "אין-סוף הוא משהו שאין לו סוף" (תשובה טאוטולוגית - רובם המוחלט של המשיבים, בניסוח זה או אחר, כולל "לא נגמר", "לא מוגבל" וכו'); תשובות חריגות - הגדרות ע"י דוגמאות (קזואיסטיקה: "כמו היקום, המספרים"), הגדרות רגשיות ("משהו שחור וארוך מאד"), הגדרה כאין-סוף פוטנציאלי ("כמה שלא תיקח, יישאר יותר ויותר") או הגדרה פיניטיסטית ("משהו גדול מאד"). באחד הקורסים משיבים שונים נתנו תשובות לא-נכונות בעליל ("אין-סוף הוא מִסְפָּר ש....." - הרי אין-סוף אינו מספר).
ניתוח ההצעות שהכינו חברי הקורס לאור הסקר שעשו: רוב תשובות חברי הקורס אינן עולות על תשובות הנסקרים. ניסויים הממחישים אין-סוף: "אדם עומד בין 3 מראות - כמה אנשים הוא רואה" או "חתוך עוגה לשניים, אכול חצי, המשך כך עם מה שנותר".
הגדרה מתמטית לא-מדוייקת: אין-סוף הוא גודלה של קבוצה שאם מורידים איבר, מקבלים אותה כמות איברים. הפיכת ההגדרה למדוייקת ע"י החלפת המושג "כמות" במושג "התאמה חד-ערכית": קבוצה נקראת אין-סופית אם ניתן להתאים את איבריה חד-ערכית לאברי תת-קבוצה-ממש שלה.

 
 
Eli Bar-Yahalom (Khatul)

בסמסטר זה החלטתי לתעד חלק מהקורסים שאני מלמד באופן הבא: לאחר כל שיעור אני מתמצת את מה שלימדתי ומפרסם בפייסבוק שלי (מי שעוד לא חבר שלי, מוזמן לחפש אותי שם). הפייסבוק הוא לא אמצעי מי יודע מה נוח לאחסון ארוך-טווח של דברים, אז מדי פעם אני הולך לפרסם את זה גם כאן.

לא כל הקורסים שאני נותן מתועדים. מי כן?

קורסים אקדמיים (לסטודנטים):

1. חשיבה מתמטית יצירתית
2. מתמטיקה דיסקרטית 1
3. לוגיקה מתמטית

קורסים לבני נוער מחוננים:

4. המסע אל האין-סוף (כיתות ה'-ו')
5. אגדה ומיתולוגיה (כיתות ז'-ח')

קורסי העשרה לתלמידי בתי-ספר:

6. חשיבה מתמטית (שונה לחלוטין מהקורס האקדמי)

כמו כן אני מסכם – לפעמים – את ההרצאות שאני נותן בקורס "מבוא לבלשנות השוואתית", אך אני עושה את זה באופן לא שיטתי, בעוונותי הרבים.

האם תרצו לראות את הסיכומים האלה כאן?